레버리지 오래 갖고있으면 큰일납니다 [7]

지난 편에선 매매 중독자를 깠습니다. 사고파는 행위 그 자체가 거래비용으로 계좌를 파먹어서, 본전 매매만 250번 반복해도 시드 절반이 증발한다고 계산까지 들이밀었죠 (지난 편 다시 보기). 그리고 오늘은 이 모든 걸 몇 배로 뻥튀기하는 물건인 레버리지에 대해 알아봅시다.

레버리지는 수익을 딱 배수만큼 늘려줍니다. 이건 정직해요. 근데 손실은 그 배수보다 더 크게 늘립니다. 위쪽은 곱하기, 아래쪽은 제곱. 그래서 시장이 제자리걸음만 쳐도 오래 들고 있으면 계좌가 조용히 녹습니다.

머릿속으로 이렇게 계산했을 겁니다.

2배 레버리지면 오를 때 2배 벌고 빠질 때 2배 잃고, 퉁치면 그냥 2배짜리 게임 아냐? 위험도 2배, 수익도 2배니까 공평하네.

아닙니다. 지금부터 이 생각을 완전히 깨드리겠습니다.

이틀이면 들통납니다

지수가 하루 +10% 올랐다가, 다음 날 -10% 빠졌다고 칩시다. 이틀 뒤 지수는 어디 있을까요?

1.10은 10% 오른 것, 0.90은 10% 빠진 것. 둘을 곱하면 0.99, 즉 -1%입니다. 같은 폭으로 올랐다 빠졌는데 왜 본전이 아니냐? 2편에서 우려먹은 그 손익비대칭 때문이죠. 오를 땐 작은 돈에 곱하고, 빠질 땐 불어난 돈에 곱하니까 빠질 때 더 많이 깎입니다.

자, 여기에 레버리지를 얹어봅니다. 2배는 지수 +10%면 +20%, -10%면 -20%로 움직이죠.

지수는 1% 빠졌습니다. 2배는 4% 빠졌고요. 어라? 2배 걸었는데 손실은 4배네. 3배는 9% 빠졌습니다. 지수 손실의 9배. 눈치채셨죠?

손실이 배수의 제곱으로 커집니다. 2² = 4, 3² = 9. 레버리지 배수를 $LL$이라 두면, 이런 출렁임에서 나는 손실은 대략 $L^{2}L^2$에 비례해요. 여기서 $LL$은 레버리지 배수, 그러니까 2배면 2, 3배면 3입니다. 위쪽 수익은 얌전히 $LL$배로 커지는데, 아래쪽은 제곱으로 튄다는 거죠.

1년 내내 반복하면

이틀짜리 장난처럼 보이죠? 이걸 1년 돌려보겠습니다. 지수가 하루 +3%, 다음 날 -3%로 계속 지그재그만 치는, 방향은 없이 출렁이기만 하는 횡보장을 가정합니다. 250 거래일 내내 이 지그재그를 반복하면 자산 곡선이 이렇게 흘러갑니다.

1년 뒤 성적표입니다.

지수는 방향 없이 제자리 출렁임만 쳤는데도 1배가 10% 넘게 녹았습니다. 이게 2편에서 증명한 변동성 손실이죠. 여기까진 예습한 얘기고. 진짜는 레버리지가 이걸 증폭시킨다는 겁니다. 2배는 36%, 3배는 무려 64%가 사라졌어요. 지수는 1년 내내 오르지도 내리지도 않았는데, 3배 레버리지 든 사람 계좌는 3분의 1로 쪼그라들었습니다. 폭락 한 방 없이. 조용히.

왜 이렇게 되냐면

식으로 못 박겠습니다. 2편에서 만든 변동성 손실 공식 기억나시죠? 실제로 손에 쥐는 복리 수익률은 이렇게 근사됩니다.

$gg$는 실제로 손에 쥐는 복리 수익률(기하평균), $\mu \backslash mu$(뮤)는 하루하루 수익률을 그냥 평균 낸 값(산술평균), $\sigma \backslash sigma$(시그마)는 변동성, 즉 수익률이 얼마나 출렁이는지를 재는 표준편차입니다. ${\sigma }^2\backslash sigma^2$은 그 시그마를 제곱한 값이고요. 이 $\frac{{\sigma }^2}{2}\backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\}$가 흔들림이 갉아먹는 몫입니다. 많이 출렁일수록 이 항이 커져서 실제 수익을 깎아요.

여기에 레버리지 $LL$을 걸면 두 값이 동시에 바뀝니다. 평균 수익률도 $LL$배, 흔들림도 $LL$배. $\mu \backslash mu$는 $L\mu L\backslash mu$로, $\sigma \backslash sigma$는 $L\sigma L\backslash sigma$로 커지죠. 이걸 위 식에 그대로 넣습니다.

보이시죠? 앞의 수익 항 $L\mu L\backslash mu$는 $LL$에 정비례합니다. 2배 걸면 딱 2배. 정직해요. 근데 뒤의 손실 항 $\frac{L^2{\sigma }^2}{2}\backslash frac\{L^2\backslash sigma^2\}\{2\}$는 $L^{2}L^2$에 비례합니다. 2배 걸면 4배, 3배 걸면 9배. 아까 이틀짜리 계산에서 봤던 그 제곱이 여기 그대로 박혀 있는 거예요.

레버리지엔 정점이 있다

방금 그 계산에서 뭔가 이상한 거 못 느끼셨어요? 우상향하는 좋은 시장인데도, 2배는 벌었는데 3배는 오히려 덜 벌었습니다. 레버리지를 키울수록 수익이 커지다가, 어느 지점을 넘으면 도로 줄어들어요. 그 정점을 넘기면 아무리 좋은 시장이어도 레버리지가 높을수록 가난해집니다.

그 정점이 여기입니다.

$L^{\ast }L^*$(엘스타)는 수익이 최대가 되는 레버리지 배수입니다. 위 예시 숫자를 넣으면 $L^{\ast }={\displaystyle \frac{0.0005}{{0.015}^2}}={\displaystyle \frac{0.0005}{0.000225}}\approx 2.2L^*\; =\; \backslash dfrac\{0.0005\}\{0.015^2\}\; =\; \backslash dfrac\{0.0005\}\{0.000225\}\; \backslash approx\; 2.2$배. 이걸 넘겨서 3배, 4배 걸면 수익이 도로 깎입니다. 4편에서 뜯은 켈리 기준이랑 정확히 같은 뼈대예요. 최적 베팅 크기를 넘으면 기대수익이 아니라 파산 쪽으로 달려간다는 그 얘기죠.

근데 여기 진짜 함정이 있습니다. 이 $L^{\ast }L^*$을 계산하려면 미래의 $\mu \backslash mu$와 $\sigma \backslash sigma$를 알아야 해요. 미래 수익률 $\mu \backslash mu$를 여러분이 압니까? 모르죠. 시장이 정하는 거니까. 반면 변동성이 갉는 $\frac{L^2{\sigma }^2}{2}\backslash frac\{L^2\backslash sigma^2\}\{2\}$, 이 손실은 시장이 출렁이기만 하면 무조건 확정으로 나갑니다. 수익 쪽은 '잘하면' 붙는 도박이고, 손실 쪽은 '가만히 있어도' 새는 세금이에요.

한 방 맞으면 회복이 불가능해진다

조용히 녹는 것도 무섭지만, 크게 한 방 맞았을 때가 더 끔찍합니다. 포지션을 그 배수로 들고 하락을 그대로 맞았다고 칩시다.

지수가 반토막(−50%) 나면 1배 든 사람은 100% 벌어야 본전이라도 칩니다. 힘들어도 가능은 하죠. 근데 2배, 3배는? 지수 -50%에 계좌가 -100%, 청산입니다. 돈이 0이 되는 순간 끝이에요. 0에 뭘 곱해도 0이니까. 그 뒤로 시장이 열 배가 오르든 백 배가 오르든 여러분 몫은 0입니다. 회복이 어려운 게 아니라, 회복이라는 단어 자체가 사라지는 거예요.

그래서 레버리지가 무조건 악이냐

아뇨, 그렇게까진 안 갑니다. 방향이 확실하고 흔들림 적은 상승장을 미리 안다면, 적당한 레버리지는 수익을 키워줘요. 위 계산에서도 2배가 1배보다 많이 벌었잖아요. 문제는 그 '미리 안다면'이에요. 그걸 아는 사람이 있으면 이런 글 안 읽고 이미 섬 하나 샀겠죠.

확실한 건 딱 하나입니다. 시장이 출렁이는 한 $L^{2}L^2$짜리 손실은 무조건 확정으로 나간다는 것. 수익은 확률, 손실은 확정. 이 비대칭 앞에서 답은 정해져 있습니다.

레버리지는 이 블로그가 지금까지 깐 세 가지를 한 몸에 담고 있어요. 변동성 손실을 제곱으로 키우고, 손익비대칭을 극단으로 밀고, 청산이라는 이름의 파산 확률을 얹습니다. 위쪽 수익을 $LL$배 얻겠다고 아래쪽 위험을 $L^{2}L^2$배로 여는 거래. 여러분이라면 하시겠습니까?

이 시리즈가 매 편 똑같이 박는 그 한 문장, 레버리지 편에서도 안 바뀝니다. 손실부터 막아라.

레버리지까지 왔으니 이제 방어의 실전으로 넘어갈 때네요. 다음 편엔 그 유명한 손절을 뜯습니다. 왜 초보의 손절은 늘 최악의 자리에서 터지는지, 손절선을 감이 아니라 숫자로 긋는 법을 계산해서 들고 오겠습니다.

본문의 하루 ±3% 지그재그, 250거래일, 평균 수익률 0.05%·변동성 1.5%, 레버리지 2·3배 등은 레버리지 배수와 손실의 관계($LL$ 대 $L^{2}L^2$)를 보여주려고 만든 가상 수치 모델입니다. 특정 종목·상품의 매수·매도나 수익을 보장하지 않습니다. 레버리지 상품의 실제 구조·비용·청산 조건은 상품별로 다르니 이용 중인 증권사와 거래소·운용사의 공식 자료로 확인하세요.